Министерство образования и науки
Астраханской области

Государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального
образования Астраханской области
«Астраханский инженерно-строительный
институт»

Кафедра физика и математика, информационные
технологии

Определение момента инерции тела

Методические указания к лабораторной
работе по физике

Астрахань

2013

Составитель:

к.т.н., доцент Е.М. Евсина

Рецензенты:

к.п.н., доцент каф. общей физики АГУ С.А.
Тишкова,

к.т.н., доцент П.Н. Садчиков

В работе содержатся основные теоретические
сведения по теме «Динамика вращательного
движения твёрдого тела», описана методика
определения момента инерции крестообразного
маятника, момента сил трения.

Методические указания предназначены
для самостоятельной подготовки студентов
к выполнению лабораторной работы.

Лабораторная работа №1.2. Определение момента инерции тел

Цель работы:

  1. Изучить характеристики и основной
    закон динамики вращательного движения
    твёрдого тела.

  2. Определить момент инерции
    крестообразного маятника (маятник
    Обербека).

  3. Оценить момент тормозящей силы,
    действующий на тело в процессе вращения.

  4. Определить момент инерции тела
    с учетом момента тормозящей силы.

  5. Произвести расчет моментов,
    пользуясь энергетическими соотношениями.

Приборы и принадлежности:

    1. Модульный учебный комплекс
      МУК-М1;

    2. Блок секундомер электронный
      СЭ1;

    3. Блок механический БМ1.

Краткая теория

Абсолютно твёрдым теломназывают тело, расстояние между любыми
двумя точками которого в условиях данной
задачи можно считать постоянным. Иначе
говоря, это тело, форма и размеры которого
не изменяются при его движении. Всякое
твёрдое тело можно мысленно разбить на
большое число частей, сколь угодно малых
по сравнению с размерами всего тела, и
рассматривать его как систему
(совокупность) материальных точек,
жёстко связанных друг с другом.

Центром масс (инерции)
называют точку, масса которой равна
массе всего тела, а положение определяется
радиусом-вектором
:

,

(1)

где miи
— массы и радиусы-векторы отдельных
точек (частиц),m
масса всего тела.

Произвольное движение тела можно
представить как совокупность только
поступательного движения центра инерции
и вращательного движения относительно
центра инерции.

Поступательнымназывается
движение, при котором любая прямая,
проведенная в теле, остаётся параллельной
самой себе (рис.1а). При поступательном
движении все точки тела получают за
один и тот же промежуток времени равные
по величине и направлению перемещения,
вследствие чего скорости и ускорения
всех точек в каждый момент времени
оказываются одинаковыми. Поэтому
достаточно определить движение одной
из точек тела (например, центра масс)
для того, чтобы охарактеризовать движение
всего тела.

Второй закон Ньютона для
движения центра масс
твёрдого тела
записывается в виде

внешн

(2)

где
— скорость центра масс,внешн— геометрическая сумма всех внешних
сил, приложенных к телу.

При вращательном движении все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Рис. 1.

Виды механического движения: 1а)
поступательного; б) вращательного.

Окружности, описываемые точками, находятся вплоскостях, перпендикулярных оси вращения (рис. 1б). Ось вращения может находиться как внутри тела, так и вне его.

Чтобы твёрдое тело с закреплённой
осью привести во вращательное движение,
необходимо хотя бы в одной из его точек
приложить внешнюю силу
,
не проходящую через ось вращения и
непараллельную ей, другими словами,
чтобы эта сила создавала момент силы.

Моментом силы относительно
произвольной точкиО(неподвижного
начала) называется векторное произведение
радиуса-вектора,
проведенного из этой точки к точке
приложения силы, на силу
:

(3)

Момент силы
перпендикулярен к плоскости, в которой
лежат радиус-вектор

и сила
,
и образует с ними правую тройку (при
наблюдении с конца векторавидно, что вращение по кратчайшему пути
откпроисходит против часовой стрелки
(рис. 2).

Рис. 2.

К определению момента силы относительно
оси вращения

Модуль вектора

согласно определению векторного
произведения равен

M
=
r
F
sin
()
= r
F
sin
α
= F
l
,

(4)

где l = r
sinα–
длина перпендикуляра, опущенного из
точкиC на прямую,
вдоль которой действует сила, называется
плечом силы (рис. 2).

Моментом инерции I
материальной точки
относительно
некоторой оси называется скалярная
величина, равная произведению массы
материальной точкиmiна квадрат расстоянияriот этой точки до оси вращения

.

(5)

Момент инерции I
твёрдого тела
относительно той же
оси

,

(6)

где mi
иri— массаi-той материальной
точки и её расстояние до оси вращения.

Момент инерции зависит не только
от массы всего тела и её распределения
в теле, но также от его ориентации
относительно оси вращения и является
величиной аддитивной.1

При непрерывном распределении
массы относительно оси вращения, момент
инерции равен:

.

(7)

Учитывая,
чтоdm =ρdV , гдеρ– плотность вещества в объёмеdV,
формулу (7) можно записать в виде

.

(8)

Если тело однородно, т.е. его
плотность ρ одинакова по всему объёму,
то

.

(9)

Момент инерцииотносительно
оси вращения характеризует инертность
тела при вращении вокруг этой оси, т.е.
является величиной, аналогичной массе
тела, которая является мерой инертности
тела при его поступательном движении.

Используя формулу (9), можно
рассчитать моменты инерции однородных
тел правильной геометрической формы.

Рис. 3.

Сплошной однородный диск (цилиндр)

В качестве примера рассчитаем
момент инерции сплошного однородного
диска (цилиндра) относительно оси,
перпендикулярной к плоскости диска и
проходящей через его центр масс (рис
3). Разобьём диск на кольцевые слои
толщиной dr. Обьём
такого слоя равен dV
=
b·r·dr,
гдеb– толщина диска.
Подставим выражение дляdV
в уравнение
и вынесем постоянные за знак интеграла:
.

Учитывая, что произведение
плотности диска ρ на его объём πR2bравно массе диска, получим:

.

(10)

Без расчёта приведём формулы
момента инерции тонкого стержня длиной
l относительно
оси, перпендикулярной к стержню и
проходящей через его середину (рис. 4)

,

(11)

Рис. 4.

Тонкий стержень длиной l

и момента инерции шара относительно
оси, проходящей через его центр масс
(рис. 5):

.

(12)

Рис. 5.

Однородный шар

Теоретический расчёт моментов
инерции тел произвольной формы сложен,
поэтому их определяют опытным путём.

Если для какого-либо тела известен
его момент инерции I0
относительно оси, проходящей через
центр масс, то момент инерции относительно
любой оси, параллельной первой, может
быть найден потеореме Штейнера.
Момент инерции твёрдого тела относительно
произвольной оси (I)
равен сумме моментов инерции этого
тела относительно оси, параллельной
данной и проходящей через центр инерцииI0и произведения
массы тела на квадрат расстояния между
осями:

I = I0+md2,

(13)

где m– масса
тела;d– расстояние
от центра масс до оси вращения.

Векторное произведение
радиуса-вектора
на её импульсназываетсямоментом
импульса
этой материальной
точки относительно точки О:

.

(14)

Моментом импульса тела
относительно точки Cназывается векторная сумма моментов
импульсавсех частиц тела относительно этой
точки:

.

(15)

Если материальная точка вращается
по окружности радиуса r(рис. 6), то момент импульса относительно
оси вращения ОО¢,так
как,
где –угловая
скорость.

Рис. 6.

Вращение материальной точка по окружности
радиуса r

Если вокруг оси ОО′ вращается
система материальных точек с одной и
той же угловой скоростью ,
то.

Величину ,
как одинаковую для всех материальных
точек, можно вынести из-под знака суммы.
Тогда получится

L=I,

(16)

где

момент инерции тела относительно оси
вращения.

Основной закон динамики
вращательного движения
тела имеет
вид

,

(17)

где
производная по времени от момента
импульса тела относительно произвольного
неподвижного начала,геометрическая сумма моментов всех
приложенных к телу внешних сил
относительно того же начала.

Основное уравнение динамики
вращательного движения (17) аналогично
основному уравнению динамики
поступательного движения
и
поэтому уравнение (17) называют также
вторым законом Ньютона для вращательного
движения.

С учётом (16) уравнение (17) можно
представить в виде

.

(18)

Если ось неподвижна (I=const),
то уравнение (18) можно записать так:,
или

,

(19)

где ε – угловое ускорение.

Сравнивая формулы
иубеждаемся, что эти формулы аналогичны.
Аналогом силы,
входящей в уравнение динамики
поступательного движения, является
момент силы в случае вращательного
движения твёрдого тела, линейной скорости
поступательного движения – угловая
скорость вращающегося тела, массы –
момент инерции тела.

Задание 1. Определение момента
инерции маятника Обербека