Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения функций

19. Локальный экстремум функции. Необходимое условие существования экстремума

Говорят, что функция

имеет вовнутреннейточке
областиD
локальный максимум(минимум),
если существует такая окрестностьточки,
для каждой точкикоторой выполняется неравенство

Если функция имеет в
точке
локальный максимум или локальный
минимум, то говорят, что она имеет в этой
точкелокальный экстремум (или
просто экстремум
).

Теорема (необходимое
условие существования экстремума
).
Если дифференцируемая функциядостигает экстремума в точке,
то каждая частная производная первого
порядка от функциив этой точке обращается в нуль.

Точки, в которых все
частные производные первого порядка
обращаются в нуль, называются стационарными
точками функции
.
Координаты этих точек можно найти,
решив систему изуравнений

.

Необходимое условие
существования экстремума в случае
дифференцируемой функции коротко можно
сформулировать и так:

.

Встречаются случаи,
когда в отдельных точках некоторые
частные производные имеют бесконечные
значения или не существуют (в то время
как остальные равны нулю). Такие точки
называются критическими точками
функции.
Эти точки тоже нужно
рассматривать в качестве «подозрительных»
на экстремум, как и стационарные.

В случае функции двух
переменных необходимое условие
экстремума, а именно равенство нулю
частных производных (дифференциала) в
точке экстремума, имеет геометрическую
интерпретацию: касательная плоскость
к поверхности
в точке экстремума должна быть параллельна
плоскости.

20. Достаточные условия существования экстремума

Выполнение в некоторой
точке необходимого условия существования
экстремума вовсе не гарантирует наличия
там экстремума. В качестве примера можно
взять дифференцируемую всюду функцию

.
Обе ее частные производные и сама
функция обращаются в нуль в точке.
Однако в любой окрестности этой точки
есть как положительные (большие),
так и отрицательные (меньшие)
значения этой функции. Следовательно,
в этой точке, по определению, экстремума
не наблюдается. Поэтому необходимо
знать достаточные условия, при которых
точка, подозрительная на экстремум,
является точкой экстремума исследуемой
функции.

Рассмотрим случай
функции двух переменных. Предположим,
что функция
определена, непрерывна и имеет непрерывные
частные производные до второго порядка
включительно в окрестности некоторой
точки,
которая является стационарной точкой
функции,
то есть удовлетворяет условиям

,.

Введем обозначения:

Теорема(достаточные условия существования
экстремума
). Пусть функцияудовлетворяет вышеприведенным условиям,
а именно: дифференцируема в некоторой
окрестности стационарной точкии дважды дифференцируема в самой точке.
Тогда, если

  1. ,
    то в исследуемой точке функция имеет
    локальный экстремум,

  2. то экстремума нет,

  3. то требуется дополнительное исследование.

В
случае если
то функцияв точкедостигает

локального максимумаприи

локального минимумапри.

В общем
случае, для функции
достаточным условием существования в
точкелокальногоминимума(максимума)
являетсяположительная (отрицательная)
определённость второго дифференциала.

Иными словами,
справедливо следующее утверждение.

Теорема. Если
в точкедля функции

для любых
не равных одновременно нулю
,
то в этой точке функция имеетминимум
(аналогичномаксимум, если).

Пример
18.
Найти точки локального экстремума
функции

Решение. Найдем
частные производные функции и приравниваем
их к нулю:

Решая эту систему,
находим две точки возможного экстремума:

Найдем частные
производные второго порядка для данной
функции:

В первой стационарной
точке
,
следовательно, иПоэтому для этой точки требуется
дополнительное исследование. Значение
функциив этой точке равно нулю:Далее,

при
а

при

Следовательно, в любой
окрестности точки
функцияпринимает значения как большие,
так и меньшие,
и, значит, в точкефункция,
по определению, не имеет локального
экстремума.

Во второй стационарной
точке
следовательно,Поэтому, так както в точкефункция имеет локальный максимум:

.